ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 10/6/2019

Η 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α A1. Έστω A  . α) Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A ; (Μονάδες 2) β) i. Πότε μια συνάρτηση f : A  έχει αντίστροφη; (Μονάδα 1) ii. Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του (i), πώς ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f ; (Μονάδες 3) Μονάδες 6
 A2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat που αφορά τα τοπικά ακρότατα μιας συνάρτησης. Μονάδες 4
A3. Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f (x) 0   σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 5
 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα στο γράμμα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α) Για κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι παραγω ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
A5. Έστω η συνάρτηση f του διπλανού σχήματος. Αν για τα εμβαδά των χωρίων Ω1, Ω2 και Ω3 ισχύει ότι Ε(Ω1)=2, Ε(Ω2)=1 και Ε(Ω3)=3, τότε το f(x)dx    είναι ίσο με: α) 6 β) -4 γ) 4 δ) 0 ε) 2 Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f :  με τύπο x f(x) e     , όπου   , η οποία έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο  την ευθεία y 2 
 . B1. Να αποδείξετε ότι   2. Μονάδες 3
B2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) x 0   έχει μοναδική ρίζα, η οποία βρίσκεται στο διάστημα (2, 3). Μονάδες 7 B3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι 1-1 (μονάδες 2) και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφή της (μονάδες 4). Μονάδες 6 B4. Έστω 1 f (x) n(x 2), x 2      . Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής της παράστασης (μονάδες 3) και στη συνέχεια να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση των συναρτήσεων f και 1 f  στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων (μονάδες 6). Μονάδες 9 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 2 x 1 x , x 1 f(x) e x, x 1.            Γ1. Να αποδείξετε ότι   1 και   1. Μονάδες 5
Γ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 4
Γ3. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 0  έχει μοναδική ρίζα o x , η οποία είναι αρνητική. (Μονάδες 4) ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2 o f (x) x f(x) 0   είναι αδύνατη στο o (x , )  . (Μονάδες 4) Μονάδες 8
 Γ4. Ένα σημείο M(x, y) κινείται κατά μήκος της καμπύλης y f(x), x 1   . Τη χρονική στιγμή 0 t κατά την οποία το σημείο M διέρχεται από το σημείο A(3, 10) , ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου M είναι 2 μονάδες ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου MOK τη χρονική στιγμή 0 t , όπου K(x, 0) και O(0, 0). Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται η συνάρτηση f :  με τύπο 2 f(x) (x 1) n(x 2x 2) x         όπου  ,  και η ευθεία ( ) : y x 2,     η οποία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο της A(1, 1).
 Δ1. Να αποδείξετε ότι   1 και   2. Μονάδες 4
 Δ2. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , την ευθεία ( )  και τις ευθείες x 1  και x 2  . Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
Δ3. i. Nα αποδείξετε ότι f (x) 1    , για κάθε x  . (Μονάδες 3) ii. Nα αποδείξετε ότι 1 3 2 f( ) ( 1) n( 2 2) 2 2             , για κάθε   . (Μονάδες 5) Μονάδες 8
Δ4. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f και η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 g(x) x x 2, x      έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη και να βρείτε την εξίσωσή της. Μονάδες 8

                                                         ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

                                                       

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Τα θέματα των μαθηματικών προσανατολισμού είναι κλιμακούμενης δυσκολίας ,εξετάζοντας μεγάλο εύρος της ύλης και απαιτούσαν αρκετό χρόνο. ● Το πρώτο θέμα έχει στοιχεία που απαιτούν πολύ καλή γνώση και κατανόηση της θεωρίας. ● Το δεύτερο θέμα κρίνεται βατό διαφοροποιείται λίγο από τα δεύτερα θέματα των τελευταίων τριών ετών. ● Το τρίτο θέμα κρίνεται απαιτητικό, ιδιαίτερα στα δύο ερωτήματα του, Γ3ii, Γ4. ● Τέλος το 4ο θέμα απαιτεί κατανόηση εννοιών κριτική σκέψη και αφορά καλά προετοιμασμένους μαθητές

Share this

Λάζαρος